Макс с самого раннего детства начал понимать правила передвижения фигур. С шахматами познакомился в 4 года, в соревнованиях участвовал с 10 лет. Быстро впитывая информацию и развиваясь, в 12 лет Эйве вступил в амстердамский шахматный клуб, чтобы иметь возможность играть с равными противниками. Через несколько лет он вошел в группу «Б» чемпионата страны, получив первое денежное вознаграждение. В то время в Голландии жило много хороших игроков и с некоторыми из их числа посчастливилось пообщаться и молодому шахматисту. Он лично знал таких мастеров, как Тарраш, Ретти, Тартаковер, а венгерский гроссмейстер Геза Мароци.

В 1935 выиграл матч на первенство мира у Алехина. В матче-реванше Алехин снова отвоевал чемпионский титул, но Эйве уже имел требуемое признание и уважение. В период 2-й мировой войны 1939—1945 Эйве выступал лишь в местных соревнованиях, отказываясь от сотрудничества с фашистскими оккупантами. Он продолжал заниматься преподавательской и научной деятельностью, написанием книг на различную тематику.

В 1945 — 1950-е гг. Эйве продолжал участвовать в соревнованиях, добиваясь высоких результатов.

В 1970 году Эйве, выдвинутый группой ведущих гроссмейстеров, был единогласно избран на пост президента ФИДЕ. Как президент ФИДЕ Эйве внёс большой вклад в развитие и пропаганду шахмат, способствовал укреплению международных спортивных связей.

В 1981 году Президент Эйве, как привыкли называть его шахматисты всего мира, скончался от сердечного приступа.